Mathematical analysis of thermo-visco-elastic models

Motywacją do badań nad równaniami opisującymi odkształcenia termo-lepko-sprężyste jest potrzeba lepszego opisu procesów zachodzących w różnych materiałach oraz zbudowania lepszych modeli ich zachowania pod wpływem działania sił zewnętrznych. Wraz z rozwojem techniki zdobywamy głębszą wiedzę na temat różnych tworzyw. Pozwala nam to na tworzenie coraz bardziej poprawnych modeli opisujących zachowanie tworzyw w zmiennych warunkach zewnętrznych, co jest kluczową kwestią w dobieraniu odpowiednich materiałów do potrzeb eksploatacyjnych. Z jednej strony takie badania prowadzone są w laboratoriach, gdzie za pomocą doświadczeń poznawane są różne własności materiałów. Z drugiej strony, korzystając ze zdobyczy najnowszej techniki oraz wiedzy matematycznej, prowadzone są również prace mające na celu umożliwienie modelowania tych zjawisk. Celem niniejszej rozprawy jest prezentacja rezultatów dotyczących istnienia rozwiązań dla układu równań różniczkowych cząstkowych opisujących odkształcenia termo-lepko-sprężyste. Mechanika ciała stałego jest złożonym zjawiskiem, dlatego w naszych rozważaniach skupiliśmy się na modelowaniu zjawisk makroskopowych, tzn. takich zjawisk, które możemy zaobserwować, zmierzyć. Pomijamy zatem efekt mikroskopowe. Odkształcenia ciała stałego możemy podzielić na kilka rodzajów, np. elastyczne, lepkosprężyste, lepko-plastyczne. Taką klasyfikację można znaleźć w [18]. Podstawowym odkształceniem jest odkształcenie sprężyste (ang. elastic deformation), czyli takie, które ustępuje po ustaniu siły, która je spowodowała. Energia odkształcenia jest magazynowana w trakcie działania siły. Gdy siły zewnętrzne przestają działać, energia mechaniczna oddawana jest do otoczenia, a ciało sprężyste wraca do swego początkowego stanu. Nie następują żadne utraty energii czy trwałe i nieodwracalne deformacje. Oczywistym jest, że cechy charakteryzujące dany materiał (np. sprężystość) zależą od warunków zewnętrznych (np. temperatury). Wraz z ich zmianą może nastąpić zmiana właściwości materiału. Najlepszym przykładem takiej sytuacji jest schłodzenie gumowej, elastycznej (w temperaturze pokojowej) rurki do temperatury ciekłego azoty, tj. ok −195◦C. W tak niskiej temperaturze guma staje się krucha i każda próba wygięcia rurki kończy się jej pokruszeniem. Również zbyt duże odkształcenia mogą spowodować zmianę właściwości materiału. Każdy materiał sprężysty ma granicę, po przekroczeniu której przestaje się odkształcać sprężyście. Możemy wtedy zaobserwować np. pękanie, gdy materiał jest kruchy lub przyrost odkształcenia bez zmiany naprężenia. Zbyt duże rozciągnięcie gumy powoduje, że nie wraca już ona do pierwotnego, początkowego stanu tylko „wyciąga się”. Takie odkształcenia są już nieodwracalne. Niestety w przyrodzie nie spotykamy materiałów, które są idealnie sprężyste, tzn. w przypadku których powyższa definicja jest spełniona zawsze i w każdych warunkach. Powoduje to potrzebę badania również odkształceń niesprężystych (plastycznych). Pojęcie to jest bardzo ogólne, obejmuje materiały o różnych typach zachowań. Wśród odkształceń niesprężystych możemy wyróżnić odkształcenia lepko-elastyczne, lepko-plastyczne, perfekcyjnie plastyczne itd. Każde z tych odkształceń charakteryzuje się pewnymi szczególnymi własnościami. Stosując klasyfikację przedstawioną w [18] możemy je rozumieć w następujący sposób: